อัต เคลื่อนไหว เฉลี่ย กวดวิชา

การวิเคราะห์อนุกรมเวลามีรูปแบบคลาสและฟังก์ชันที่เป็นประโยชน์สำหรับการวิเคราะห์อนุกรมเวลา ปัจจุบันมีโมเดลอัตถดถัตถ์ univariate (AR), vector autoregressive models (VAR) และ univariate autoregressive moving average models (ARMA) นอกจากนี้ยังมีสถิติเชิงพรรณนาสำหรับชุดข้อมูลเวลาด้วยเช่นความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์ (autocorrelation), ฟังก์ชันความสัมพันธ์ (autocorrelation) บางส่วนและ periodogram รวมถึงคุณสมบัติทางทฤษฎีที่สอดคล้องกันของ ARMA หรือกระบวนการที่เกี่ยวข้อง นอกจากนี้ยังมีวิธีการทำงานร่วมกับ polynomials โดยเฉลี่ยแบบอัตถดถอยและเคลื่อนที่ นอกจากนี้ยังมีการทดสอบทางสถิติที่เกี่ยวข้องและฟังก์ชันช่วยเหลือที่มีประโยชน์บางอย่าง การประมาณค่าจะทำโดย Maximum Likelihood ที่แน่นอนหรือมีเงื่อนไขหรืออย่างน้อยตามเงื่อนไขโดยใช้ตัวกรอง Kalman Filter หรือตัวกรองโดยตรง ขณะนี้ฟังก์ชันและคลาสต้องถูกนำเข้าจากโมดูลที่เกี่ยวข้อง แต่คลาสหลักจะมีอยู่ใน namespace statsmodels. tsa โครงสร้างของโมดูลอยู่ภายใน statsmodels. tsa คือ stattools สมบัติเชิงประจักษ์และการทดสอบ, acf, pacf, granger-causality, adf unit root test, การทดสอบ ljung-box และอื่น ๆ armodel กระบวนการอัตถดถอย univariate ประมาณด้วยความเป็นไปได้สูงสุดเงื่อนไขและแน่นอนและ arimamodel อย่างน้อยรูปสี่เหลี่ยมเงื่อนไข กระบวนการ ARMA ที่ไม่เหมือนกันการประมาณค่าด้วยความเป็นไปได้สูงสุดเชิงเงื่อนไขและความถูกต้องสูงสุดและรูปแบบเวกเตอร์น้อยที่สุดที่มีเงื่อนไขอย่างน้อย varar โมเดลการประมาณค่าเชิงอัตรกรรมอัตโนมัติแบบเวคเตอร์ (VAR) การวิเคราะห์การตอบสนองต่ออิมพัลซ์การสลายตัวของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์และเครื่องมือแสดงข้อมูล kalmanf การประมาณค่าสำหรับ ARMA และโมเดลอื่น ๆ ด้วย MLE ที่แน่นอนโดยใช้ตัวกรอง Kalman Filter คุณสมบัติของกระบวนการ arma ด้วยพารามิเตอร์ที่ระบุซึ่งรวมถึงเครื่องมือในการแปลงระหว่าง ARMA, MA และการแสดง AR เช่นเดียวกับ acf, pacf, ความหนาแน่นของสเปกตรัม, ฟังก์ชันตอบสนองต่ออิมพัลส์และ sandbox. tsa. fftarma ที่คล้ายกัน คล้ายคลึงกับ armaprocess แต่ทำงานในโดเมนความถี่ tsatools ฟังก์ชันผู้ช่วยเหลือเพิ่มเติมเพื่อสร้างอาร์เรย์ของตัวแปร lagged สร้าง regressors สำหรับแนวโน้ม detrend และที่คล้ายกัน ฟิลเตอร์ ฟังก์ชันช่วยเหลือสำหรับการกรองชุดข้อมูลเวลาเพิ่มเติมบางฟังก์ชันเพิ่มเติมที่เป็นประโยชน์สำหรับการวิเคราะห์อนุกรมเวลาอยู่ในส่วนอื่น ๆ ของแบบจำลองทางสถิติตัวอย่างเช่นการทดสอบทางสถิติเพิ่มเติม บางฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องมีอยู่ใน matplotlib, nitime และ scikits. talkbox ฟังก์ชันเหล่านี้ได้รับการออกแบบมาเพื่อการใช้งานในการประมวลผลสัญญาณซึ่งมีชุดเวลาที่ยาวขึ้นและทำงานได้บ่อยขึ้นในโดเมนความถี่ สถิติเชิงพรรณนาและการทดสอบ stattools. acovf (x, neutral, demean, fft) ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับ ARIMA: โมเดลที่ไม่สมมุติ ARIMA (p, d, q) สมการพยากรณ์: แบบจำลอง ARIMA เป็นทฤษฎีที่เป็นแบบจำลองทั่วไปสำหรับรูปแบบการคาดการณ์เวลา ชุดที่สามารถทำให้เป็น 8220stationary8221 โดย differencing (ถ้าจำเป็น) บางทีร่วมกับการแปลงไม่เชิงเส้นเช่นการเข้าสู่ระบบหรือ deflating (ถ้าจำเป็น) ตัวแปรสุ่มที่เป็นชุดเวลาจะหยุดนิ่งถ้าคุณสมบัติทางสถิติมีค่าคงที่ตลอดเวลา ชุดเครื่องเขียนมีแนวโน้มไม่มีรูปแบบแตกต่างกันไปโดยเฉลี่ยมีความกว้างคงที่และเลื้อยตามแบบที่สม่ำเสมอ กล่าวคือรูปแบบเวลาแบบสุ่มระยะสั้น ๆ มีลักษณะเหมือนกันในเชิงสถิติ เงื่อนไขหลังหมายความว่า autocorrelations (correlations กับความเบี่ยงเบนก่อนจากค่าเฉลี่ย) คงที่ตลอดเวลาหรือเทียบเท่าที่สเปกตรัมพลังงานคงที่ตลอดเวลา ตัวแปรสุ่มของแบบฟอร์มนี้สามารถดูได้ (ตามปกติ) เป็นสัญญาณและเสียงรวมกันและสัญญาณ (ถ้ามีปรากฏชัด) อาจเป็นรูปแบบการพลิกกลับค่าเฉลี่ยอย่างรวดเร็วหรือช้าหรือการสั่นของไซน์โซลาร์หรือการสลับสัญญาณอย่างรวดเร็ว และอาจมีส่วนประกอบตามฤดูกาล แบบจำลอง ARIMA สามารถดูได้ว่าเป็น 8220filter8221 ที่พยายามแยกสัญญาณออกจากเสียงและสัญญาณจะถูกอนุมานในอนาคตเพื่อให้ได้การคาดการณ์ สมการพยากรณ์ ARIMA สำหรับชุดเวลาแบบคงที่คือสมการเชิงเส้น (สมการถดถอย) ซึ่งตัวทำนายประกอบด้วยความล่าช้าของตัวแปรขึ้นอยู่กับและความล่าช้าของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ นั่นคือค่าที่คาดการณ์ของ Y คงที่และเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของหนึ่งหรือมากกว่าค่าล่าสุดของ Y และหรือผลรวมถ่วงน้ำหนักของค่าข้อผิดพลาดล่าสุดหนึ่งค่าหรือมากกว่า ถ้าตัวทำนายประกอบด้วยค่า lag ที่ต่ำสุดของ Y มันเป็นโมเดล autoregressive บริสุทธิ์ (8220 self-regressed8221) ซึ่งเป็นเพียงกรณีพิเศษของรูปแบบการถดถอยและสามารถใช้กับซอฟต์แวร์การถดถอยแบบมาตรฐาน ตัวอย่างเช่นโมเดล autoregressive (8220AR (1) 8221) คำสั่งแรกสำหรับ Y เป็นรูปแบบการถดถอยแบบง่ายซึ่งตัวแปรอิสระมีเพียง Y lagged โดยหนึ่งช่วงเวลา (LAG (Y, 1) ใน Statgraphics หรือ YLAG1 ใน RegressIt) หากตัวทำนายบางตัวมีข้อผิดพลาดข้อผิดพลาดโมเดล ARIMA ไม่ใช่แบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นเพราะไม่มีวิธีใดที่จะระบุข้อผิดพลาด 8222last period8217s error8221 เป็นตัวแปรอิสระ: ข้อผิดพลาดต้องคำนวณเป็นระยะ ๆ เป็นระยะ ๆ เมื่อโมเดลพอดีกับข้อมูล จากมุมมองด้านเทคนิคปัญหาเกี่ยวกับการใช้ข้อผิดพลาดที่ล่าช้าเป็นตัวพยากรณ์คือการคาดการณ์ model8217s ไม่ใช่หน้าที่เชิงเส้นของค่าสัมประสิทธิ์ แม้ว่าจะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของข้อมูลที่ผ่านมา ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ในแบบจำลอง ARIMA ที่มีข้อผิดพลาดที่ล้าหลังต้องถูกประมาณโดยวิธีการเพิ่มประสิทธิภาพแบบไม่เชิงเส้น (8220hill-climbing8221) แทนที่จะใช้เพียงการแก้สมการของสมการ ตัวย่อ ARIMA ย่อมาจาก Auto-Regressive Integrated Moving Average ความล่าช้าของชุดเครื่องเขียนในสมการพยากรณ์ถูกเรียกว่า quotautoregressivequot terms ความล่าช้าของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์จะเรียกว่า quotmoving averagequot terms และชุดข้อมูลเวลาที่จะต้องมีความแตกต่างกันไปเพื่อที่จะทำให้ stationary ถูกกล่าวว่าเป็นชุด stationary ที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลง โมเดลแบบสุ่มและแบบสุ่มแนวโน้มโมเดลอัตถิภาวนิยมและแบบจำลองการทำให้เรียบเป็นแบบเอกเทศเป็นกรณีพิเศษของแบบจำลอง ARIMA (p, d, q) quotario ซึ่งโดย: p คือจํานวนเงื่อนไขเชิงอัตรกรรม (autoregressive terms), d คือจํานวนความแตกต่างที่ไม่จำเป็นสำหรับ stationarity และ q คือจํานวนข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ที่ล้าหลังใน สมการทำนาย สมการพยากรณ์ถูกสร้างขึ้นดังนี้ อันดับแรกให้ y แสดงความแตกต่าง d ของ Y ซึ่งหมายถึง: โปรดทราบว่าความแตกต่างที่สองของ Y (กรณี d2) ไม่ใช่ความแตกต่างจาก 2 ช่วงก่อนหน้า ค่อนข้างแตกต่างแรกของความแตกต่าง ซึ่งเป็นอนาล็อกแบบไม่ต่อเนื่องของอนุพันธ์ลำดับที่สองนั่นคือการเร่งความเร็วในท้องถิ่นของซีรีส์มากกว่าแนวโน้มในท้องถิ่น ในแง่ของ y สมการพยากรณ์ทั่วไปคือที่นี่มีการกำหนดค่าพารามิเตอร์เฉลี่ยเคลื่อนที่ (9528217s) เพื่อให้สัญญาณของพวกเขามีค่าเป็นลบในสมการดังต่อไปนี้ตามข้อเสนอของ Box and Jenkins ผู้เขียนบางคนและซอฟต์แวร์ (รวมถึงภาษาการเขียนโปรแกรม R) กำหนดไฟล์เหล่านั้นเพื่อให้มีเครื่องหมายบวกแทน เมื่อจำนวนจริงถูกเสียบเข้ากับสมการไม่มีความคลุมเครือ แต่สำคัญมากที่ทราบว่าการประชุมซอฟต์แวร์ของคุณใช้เมื่อคุณอ่านผลลัพธ์ บ่อยครั้งที่พารามิเตอร์จะแสดงด้วย AR (1), AR (2), 8230 และ MA (1), MA (2), 8230 เป็นต้นเพื่อระบุรูปแบบ ARIMA ที่เหมาะสมสำหรับ Y คุณจะเริ่มต้นด้วยการกำหนดลำดับของ differencing (d) จำเป็นต้องจัดลำดับชุดและลบคุณลักษณะขั้นต้นของฤดูกาลอาจเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงความแปรปรวน - เสถียรภาพเช่นการบันทึกหรือการลดราคา ถ้าคุณหยุดอยู่ที่จุดนี้และคาดการณ์ว่าซีรี่ส์ที่แตกต่างกันคือค่าคงที่คุณได้ติดตั้งแบบสุ่มหรือแบบจำลองแนวโน้มแบบสุ่มเท่านั้น อย่างไรก็ตามชุดเครื่องเขียนอาจมีข้อผิดพลาดที่อาจเกิดขึ้นได้เองซึ่งหมายความว่าคำจำกัดความของ AR บางข้อ (p 8805 1) และบางคำจำนวน MA (q 8805 1) ยังจำเป็นในสมการพยากรณ์ ขั้นตอนการกำหนดค่าของ p, d และ q ที่ดีที่สุดสำหรับชุดเวลาที่กำหนดจะกล่าวถึงในส่วนถัดไปของบันทึกย่อ (ซึ่งลิงก์อยู่ที่ด้านบนของหน้านี้) แต่เป็นการแสดงตัวอย่างบางส่วนของประเภท ของแบบจำลอง ARIMA แบบไม่ใช้เชิงเส้นที่มักพบคือด้านล่าง ARIMA (1,0,0) แบบจำลองอัตถดถอยอันดับแรก: ถ้าซีรี่ส์มีตำแหน่งนิ่งและสัมพันธ์กันอาจเป็นไปได้ว่าเป็นค่าหลายค่าของตนเองก่อนหน้าบวกค่าคงที่ สมการพยากรณ์ในกรณีนี้คือ 8230 ซึ่งเป็น Y ที่ถดถอยลงบนตัวของมันเองที่ล้าหลังไปหนึ่งช่วงเวลา นี่คือโมเดล 8220ARIMA (1,0,0) คงที่ 8221 ถ้าค่าเฉลี่ยของ Y เป็นศูนย์จะไม่มีการรวมค่าคงที่ ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ความลาดชัน 981 1 เป็นค่าบวกและน้อยกว่า 1 ในขนาด (ต้องมีขนาดน้อยกว่า 1 ในกรณีที่ Y อยู่นิ่ง) รูปแบบนี้อธิบายถึงพฤติกรรมการคืนค่าเฉลี่ยซึ่งคาดว่าจะมีการคาดการณ์มูลค่า 8282 ของช่วงถัดไปเป็น 981 1 เท่าตาม ห่างไกลจากค่าเฉลี่ยเป็นค่า period8217s นี้ ถ้า 981 1 เป็นค่าลบจะคาดการณ์พฤติกรรมการคืนค่าเฉลี่ยด้วยการสลับสัญญาณซึ่งก็คือคาดการณ์ว่า Y จะอยู่ต่ำกว่าระยะเวลาถัดไปหากอยู่เหนือค่าเฉลี่ยในช่วงเวลานี้ ในแบบจำลองอัตถิภาวนิยมที่สอง (ARIMA (2,0,0)) จะมีระยะ Y t-2 อยู่ด้านขวาเช่นกันและอื่น ๆ ขึ้นอยู่กับสัญญาณและ magnitudes ของค่าสัมประสิทธิ์แบบ ARIMA (2,0,0) สามารถอธิบายระบบที่มีการพลิกกลับค่าเฉลี่ยที่เกิดขึ้นในรูปแบบการสั่น sinusoidally เช่นการเคลื่อนไหวของมวลในฤดูใบไม้ผลิที่อยู่ภายใต้แรงกระแทกแบบสุ่ม . ARIMA (0, 0) การเดินแบบสุ่ม: ถ้าชุด Y ไม่อยู่นิ่งแบบจำลองที่ง่ายที่สุดที่เป็นไปได้คือรูปแบบการเดินแบบสุ่มซึ่งถือได้ว่าเป็นรูปแบบ AR (1) ที่มีข้อ จำกัด ในการกำหนดอัตลักษณ์เชิงอัตรกรรม ค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 คือชุดที่มีการพลิกกลับหมายถึงช้าอย่างไม่หยุดนิ่ง สมการทำนายสำหรับแบบจำลองนี้สามารถเขียนได้ว่า: โดยที่ระยะคงที่คือการเปลี่ยนแปลงระยะเวลาเฉลี่ยเป็นระยะ ๆ (เช่นการลอยตัวในระยะยาว) ใน Y โมเดลนี้สามารถใช้เป็นแบบจำลองการถดถอยแบบไม่มีการสกัดกั้นซึ่ง ความแตกต่างแรกของ Y คือตัวแปรอิสระ เนื่องจากมีเพียงความแตกต่างที่ไม่มีความแตกต่างกันและเป็นระยะคงที่จึงถูกจัดเป็นแบบ quotARIMA (0,1,0) ด้วย constant. quot แบบ random-walk-without - drift จะเป็น ARIMA (0.1, 0) โดยไม่มีค่าคงที่ ARIMA (1,1,0) differenced แบบจำลอง autoregressive ลำดับแรก: ถ้าข้อผิดพลาดของรูปแบบการเดินแบบสุ่มเป็น autocorrelated บางทีปัญหาสามารถแก้ไขได้โดยการเพิ่มหนึ่งล่าช้าของตัวแปรขึ้นอยู่กับสมการทำนาย - - ie โดยการถอยกลับความแตกต่างแรกของ Y บนตัวเองล้าหลังโดยระยะเวลาหนึ่ง นี่จะเป็นสมการทำนายต่อไปนี้: ซึ่งสามารถจัดเรียงใหม่ได้นี่คือแบบจำลองอัตถิภาวนิยมอันดับแรกที่มีลำดับความแตกต่างอย่างไม่มีเงื่อนไขและลำดับคงที่อย่างใดอย่างหนึ่ง แบบจำลอง ARIMA (1,1,0) ARIMA (0,1,1) โดยไม่มีการเรียบแบบ exponential เรียบง่ายอย่างสม่ำเสมอ: อีกวิธีหนึ่งสำหรับการแก้ไขข้อผิดพลาด autocorrelated ในแบบจำลองการเดินแบบสุ่มได้รับการแนะนำโดยใช้แบบเรียบง่าย จำได้ว่าในบางช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง (เช่นคนที่แสดงความผันผวนที่มีเสียงดังรอบ ๆ ค่าเฉลี่ยที่เปลี่ยนแปลงไปอย่างช้าๆ) รูปแบบการเดินแบบสุ่มไม่ทำงานและค่าเฉลี่ยที่เคลื่อนไหวอยู่ในอดีต กล่าวอีกนัยหนึ่งแทนที่จะใช้การสังเกตล่าสุดเป็นคาดการณ์การสังเกตครั้งต่อไปจะเป็นการดีกว่าที่จะใช้ค่าเฉลี่ยของข้อสังเกตสุดท้ายไม่กี่ข้อเพื่อกรองสัญญาณรบกวนและประมาณค่าเฉลี่ยของท้องถิ่นอย่างแม่นยำมากขึ้น แบบจำลองการทำให้เรียบแบบเรียบง่ายใช้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ที่ถ่วงน้ำหนักแบบพหุคูณของค่าที่ผ่านมาเพื่อให้ได้ผลลัพธ์นี้ สมการทำนายสำหรับแบบเรียบง่ายชี้แจงสามารถเขียนในรูปแบบที่เท่าเทียมทางคณิตศาสตร์ หนึ่งในนั้นคือแบบฟอร์ม 8220error correction8221 ที่เรียกว่า 8220error ซึ่งเป็นที่คาดการณ์ก่อนหน้านี้ได้รับการปรับเปลี่ยนไปในทิศทางของข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นเนื่องจาก e t-1 Y t-1 - 374 t-1 ตามนิยามนี้สามารถเขียนใหม่ได้ : ซึ่งเป็นสมการพยากรณ์ ARIMA (0,1,1) โดยไม่ใช้ค่าคงที่กับ 952 1 1 - 945 ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใส่ข้อมูลการเรียบง่ายที่ชี้แจงได้โดยระบุว่าเป็นแบบ ARIMA (0,1,1) โดยไม่มี ค่าคงที่และค่าสัมประสิทธิ์ของค่าสัมประสิทธิ์ (1) โดยประมาณเท่ากับ 1-alpha ในสูตร SES จำได้ว่าในรูปแบบ SES อายุโดยเฉลี่ยของข้อมูลในการคาดการณ์ล่วงหน้า 1 รอบคือ 1 945 หมายความว่าพวกเขาจะมีแนวโน้มที่จะล่าช้าหลังแนวโน้มหรือจุดหักเหตามระยะเวลาประมาณ 1 945 เป็นไปตามที่อายุโดยเฉลี่ยของข้อมูลในการคาดการณ์ล่วงหน้า 1 รอบของรูปแบบ ARIMA (0,1,1) - ไม่ใช้แบบคงที่คือ 1 (1 - 952 1) ดังนั้นตัวอย่างเช่นถ้า 952 1 0.8 อายุเฉลี่ยอยู่ที่ 5 เมื่อ 952 1 วิธีที่ 1 ค่า ARIMA (0,1,1) - โดยไม่คิดค่าคงที่จะกลายเป็นค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ในระยะยาวและเป็น 952 1 แนวทาง 0 มันกลายเป็นแบบสุ่มเดินโดยปราศจาก drift What8217s วิธีที่ดีที่สุดในการแก้ไข autocorrelation: การเพิ่ม AR terms หรือการเพิ่มเงื่อนไข MA ในสองโมเดลก่อนหน้าที่กล่าวข้างต้นปัญหาของความผิดพลาด autocorrelated ในแบบจำลองการเดินแบบสุ่มได้รับการแก้ไขในสองวิธีด้วยกันโดยการเพิ่มค่า lagged ของชุด differenced สมการหรือเพิ่มค่า lag ของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ แนวทางที่ดีที่สุดกฎของหัวแม่มือสำหรับสถานการณ์นี้ซึ่งจะมีการกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมในภายหลังว่าการเชื่อมโยงความสัมพันธ์ในทางบวกมักจะได้รับการปฏิบัติที่ดีที่สุดโดยการเพิ่มเทอม AR ไปยังโมเดลและการเชื่อมโยงกันในทางลบมักได้รับการปฏิบัติที่ดีที่สุดโดยการเพิ่ม ระยะ MA ในช่วงเวลาทางธุรกิจและเศรษฐกิจอัตลักษณ์เชิงลบมักเกิดขึ้นเป็นสิ่งประดิษฐ์ของความแตกต่าง (โดยทั่วไป differencing ลด autocorrelation บวกและอาจทำให้เกิดการเปลี่ยนจาก autocorrelation บวกกับลบ.) ดังนั้นรูปแบบ ARIMA (0,1,1) ซึ่ง differencing จะมาพร้อมกับระยะ MA จะใช้บ่อยกว่า ARIMA (1,1,0) รุ่น ARIMA (0,1,1) พร้อมกับการเรียบอย่างสม่ำเสมอด้วยการเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว: เมื่อใช้โมเดล SES เป็นแบบ ARIMA คุณจะได้รับความยืดหยุ่นบางอย่าง ประการแรกประเมินค่าสัมประสิทธิ์ของค่าสัมประสิทธิ์การใช้ไฟฟ้า (MA) (1) เป็นค่าลบ นี้สอดคล้องกับปัจจัยราบรื่นที่มีขนาดใหญ่กว่า 1 ในรูปแบบ SES ซึ่งโดยปกติจะไม่ได้รับอนุญาตตามขั้นตอนแบบ SES เหมาะสม ประการที่สองคุณมีตัวเลือกในการรวมระยะเวลาคงที่ในรูปแบบ ARIMA หากต้องการเพื่อประเมินแนวโน้มโดยเฉลี่ยที่ไม่ใช่ศูนย์ โมเดล ARIMA (0,1,1) มีค่าคงที่มีสมการทำนาย: การคาดการณ์ล่วงหน้าหนึ่งรอบจากแบบจำลองนี้มีคุณภาพคล้ายคลึงกับแบบจำลอง SES ยกเว้นว่าวิถีของการคาดการณ์ระยะยาวโดยทั่วไปคือ (ซึ่งมีความลาดชันเท่ากับ mu) มากกว่าเส้นแนวนอน ARIMA (0,2,1) หรือ (0,2,2) โดยไม่มีการเพิ่มความเรียบแบบเสียดสีเชิงเส้นแบบคงที่: โมเดลเรียบเรียงเชิงตัวเลขเป็นแบบเชิงเส้นเป็นแบบจำลอง ARIMA ซึ่งใช้ความแตกต่างกันตามคำต่าง ๆ สองแบบร่วมกับข้อกำหนดของ MA ความแตกต่างที่สองของซีรีส์ Y ไม่ใช่แค่ความแตกต่างระหว่าง Y กับตัวเองที่ล้าหลังไปสองช่วงคือความแตกต่างแรกของความแตกต่างแรกคือ การเปลี่ยนแปลงการเปลี่ยนแปลงของ Y ที่ระยะเวลา t ดังนั้นความแตกต่างที่สองของ Y ที่ระยะเวลา t เท่ากับ (Y t - Y t-1) - (Y t-1 - Y t-2) Y t-2Y t-1 Y t-2 ความแตกต่างที่สองของฟังก์ชันแบบไม่ต่อเนื่องมีลักษณะคล้ายคลึงกับอนุพันธ์ที่สองของฟังก์ชันต่อเนื่อง: วัดการอ้างอิงหรือ quotcurvaturequot ในฟังก์ชันตามจุดที่กำหนดในเวลา แบบจำลอง ARIMA (0,2,2) โดยไม่มีค่าคงที่คาดการณ์ว่าความแตกต่างที่สองของชุดเท่ากับฟังก์ชันเชิงเส้นของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์สองข้อสุดท้าย: ซึ่งสามารถจัดเรียงใหม่ได้ว่า: ที่ 952 1 และ 952 2 เป็น MA (1) และ MA (2) ค่าสัมประสิทธิ์ นี่คือแบบจำลองการเพิ่มความเรียบแบบเชิงเส้นแบบทั่วไป เป็นหลักเช่นเดียวกับรุ่น Holt8217s และรุ่น Brown8217s เป็นกรณีพิเศษ ใช้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบถ่วงน้ำหนักแบบทวีคูณเพื่อประมาณทั้งระดับท้องถิ่นและแนวโน้มท้องถิ่นในชุด การคาดการณ์ในระยะยาวจากรุ่นนี้มาบรรจบกันเป็นเส้นตรงซึ่งความลาดชันขึ้นอยู่กับแนวโน้มโดยเฉลี่ยที่สังเกตได้จากช่วงปลายชุด ARIMA (1,1,2) โดยไม่ทำให้เกิดความเรียบแบบเสียดสีเชิงเส้นแบบลดแรงเสียดทาน โมเดลนี้แสดงในภาพนิ่งที่มาพร้อมกับรุ่น ARIMA คาดการณ์แนวโน้มในท้องถิ่นในตอนท้ายของซีรี่ส์ แต่แผ่ออกไปในขอบเขตที่คาดการณ์อีกต่อไปเพื่อนำเสนอข้อความเกี่ยวกับอนุรักษนิยมซึ่งเป็นแนวปฏิบัติที่ได้รับการสนับสนุนเชิงประจักษ์ ดูบทความเกี่ยวกับสาเหตุที่ทำไมผลงาน Trend ที่มีการกระแทกโดย Gardner and McKenzie และบทความ quotGolden Rulequot โดย Armstrong et al. สำหรับรายละเอียด เป็นที่แนะนำโดยทั่วไปให้ยึดติดกับโมเดลซึ่งอย่างน้อยหนึ่ง p และ q ไม่ใหญ่กว่า 1 คือไม่พยายามให้พอดีกับรูปแบบเช่น ARIMA (2,1,2) เนื่องจากมีแนวโน้มที่จะนำไปสู่การ overfitting และปัญหา quotcommon-factorquot ที่กล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมในบันทึกย่อเกี่ยวกับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของโมเดล ARIMA การใช้งานสเปรดชีต: โมเดล ARIMA เช่นที่อธิบายข้างต้นใช้งานง่ายในสเปรดชีต สมการทำนายเป็นเพียงสมการเชิงเส้นที่อ้างถึงค่าที่ผ่านมาของซีรีส์เวลาเดิมและค่าที่ผ่านมาของข้อผิดพลาด ดังนั้นคุณสามารถตั้งค่าสเปรดชีตการพยากรณ์ ARIMA ได้โดยจัดเก็บข้อมูลในคอลัมน์ A สูตรพยากรณ์ในคอลัมน์ B และข้อผิดพลาด (ข้อมูลลบการคาดการณ์) ในคอลัมน์ C สูตรการคาดการณ์ในเซลล์ทั่วไปในคอลัมน์ B จะเป็นเพียง นิพจน์เชิงเส้นที่อ้างถึงค่าในแถวก่อนหน้าของคอลัมน์ A และ C คูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของ AR หรือ MA ที่เหมาะสมซึ่งเก็บไว้ในเซลล์ที่อื่นในสเปรดชีต X-12-ARIMA การปรับฤดูกาลเป็นวิธีการทางสถิติสำหรับการลบคอมโพเนนต์ตามฤดูกาลของเวลา series เมื่อวิเคราะห์แนวโน้มที่ไม่ใช่ฤดูกาล เป็นปกติที่จะรายงานข้อมูลที่ปรับฤดูกาลสำหรับอัตราการว่างงานเพื่อเปิดเผยแนวโน้มพื้นฐานในตลาดแรงงาน ปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจหลายอย่างมีรอบตามฤดูกาลเช่นการผลิตทางการเกษตรและการบริโภคของผู้บริโภค (เช่นการบริโภคที่มากขึ้นซึ่งนำไปสู่เทศกาลคริสต์มาส) จำเป็นต้องปรับเปลี่ยนองค์ประกอบนี้เพื่อให้เข้าใจถึงแนวโน้มที่อยู่ในระบบเศรษฐกิจดังนั้นสถิติที่เป็นทางการมักได้รับการปรับปรุงเพื่อลบองค์ประกอบตามฤดูกาล กลุ่มงานวิจัยทางสถิติที่แตกต่างกันได้พัฒนาวิธีการต่างๆในการปรับฤดูกาลตามฤดูกาลรวมถึงสำนักงานสำรวจสำมะโนประชากรของสหรัฐ X12 ARIMA ธนาคารแห่งประเทศสเปน และ STAMP ซึ่งพัฒนาโดยกลุ่มที่นำโดย S. J. Koopman แต่ละกลุ่มมีซอฟต์แวร์ที่สนับสนุนวิธีการเฉพาะของพวกเขา NumXL สนับสนุนวิธีการสร้างแบบจำลองสำหรับ X12 ARIMA ใน Excel X-12-ARIMA i เป็นซอฟต์แวร์ที่จัดจำหน่ายและดูแลโดยสำนักสำรวจสำมะโนประชากรของสหรัฐอเมริกา การใช้ฟังก์ชันการทำงาน X-12 ใน NumXL คุณสามารถอ้างอิงข้อมูลอินพุทในสเปรดชีตได้ระบุตัวเลือกต่างๆ (เช่นการปรับค่าใช้จ่ายการรักษานอกเกณฑ์ ฯลฯ ) ของ X12 ARIMA ใน Excel ผ่านวิซาร์ดที่ใช้งานง่ายและแสดงผลตามฤดูกาล เวลาหรือคาดการณ์ใน Excel เบื้องหลัง NumXL จะแปลงตัวเลือกผู้ใช้ให้เป็นสคริปต์ ARIMA X12 แบบดั้งเดิมเรียกใช้โปรแกรมและแสดงผล (เช่นแนวโน้มการปรับฤดูกาลปัจจัยฤดูกาลไม่สม่ำเสมอการคาดการณ์) ผ่านชุดฟังก์ชันแผ่นงาน อย่างไรก็ตามผู้ใช้สามารถเข้าดูไฟล์ที่สร้างขึ้นและส่งออกโดยใช้ตัวช่วยสร้าง NumXL รุ่น regARIMA i รุ่น X12 ARIMA ในซอฟต์แวร์ Excel มาพร้อมกับการสร้างแบบจำลองชุดเวลาและความสามารถในการเลือกโมเดลสำหรับโมเดลการถดถอยเชิงเส้นด้วยข้อผิดพลาด ARIMA (regARIMA models) แบบจำลอง ARIMA ตามที่ Box and Jenkins (1976) กล่าวถึงมักใช้สำหรับชุดเวลาตามฤดูกาล แบบจำลอง ARIMA แบบคูณโดยทั่วไปสำหรับชุดข้อมูลเวลาสามารถเขียนได้: